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Verfolgt man die angegebene Umformung im umgekehrten Sinne,
so zeigt sich, daß auch die Umkehrung gilt:
Aus ab folgt AB und aund daraus aẞ.
Es besteht also einerseits
(aß) (av)
(ab) (a B),
(a> ß) = (ab).
Die Folgebeziehung zwischen zwei Objektiven a, ß ist äquivalent
der Einordnungsbeziehung zwischen den zugehörigen Klassen (von Fällen
der Objektive und von Geltungspunkten der Objektive) b, a. Wir sagen:
Der Folgebeziehung () zwischen Objektiven entspricht reziprok die
Einordnung ( umgekehrter Richtung zwischen den Klassen, die jenen
Objektiven reziprok entsprechen.
9. (Sätze.) Aus R folgt unmittelbar:
1. (a =
(A = B)
2. insbesondere ist immer a←a, daher a = a.
B)
b);
und andererseits
das heißt
R
=
1=
(a
=
3. Ist ab und bc, so ist a←c, das heißt der Grundsatz T
gilt auch für Klassen.
§ 8. Die logische Addition und Multiplikation.
jedoch
für jedes Objektiv §, für das
10. (Definition und Grundsatz.) Ist
oa, o ß,
• §
§a, § ß
gilt, so heiße das Objektiv o die logische Summe der Objektive
a und ẞ, und wir setzen
σ = a + ß.
B
Zu zwei Objektiven a, ẞ gibt es immer eine logische Summe a ß.
Nach dieser Erklärung ist o oder aß, gesprochen „a und ß“,
ein Objektiv, das sowohl a als auch als Folgen einschließt, und zwar
unter allen Objektiven (§), die a und ẞ zugleich einschließen, dasjenige,
das aus jedem solchen folgt. Man kann a deshalb als den
kleinsten gemeinsamen Grund" von a und B bezeichnen.
11. (Grundsatz der Kommutativität.)
aß ßa.
Bemerkung. Diese Tatsache läßt sich nicht etwa aus der De-
finition von a beweisen, indem man die Voraussetzungen o > a,
oẞ untereinander vertauscht. Denn diese sind ja schon durch ver-
bunden, wenn es auch nicht angeschrieben ist. Man hätte also die
Kommutativität der Objektivaddition schon vorausgesetzt, um sie zu
beweisen.
=